Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 7 \\ 10 & 13 & 16 \\ 19 & 22 & 25 \end{array}]$

Schritt 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 13 & 16 \\ 22 & 25 \end{array} |$

Schritt 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 13 & 16 \\ 22 & 25 \end{array} |$

Schritt 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 16 \\ 19 & 25 \end{array} |$

Schritt 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 10 & 16 \\ 19 & 25 \end{array} |$

Schritt 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 13 \\ 19 & 22 \end{array} |$

Schritt 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$7 | \begin{array}{c} 10 & 13 \\ 19 & 22 \end{array} |$

Schritt 1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 13 & 16 \\ 22 & 25 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 10 & 16 \\ 19 & 25 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 10 & 13 \\ 19 & 22 \end{array} |$

Schritt 2

Berechne $| \begin{array}{c} 13 & 16 \\ 22 & 25 \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 (13 \cdot 25 - 22 \cdot 16) - 4 | \begin{array}{c} 10 & 16 \\ 19 & 25 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 10 & 13 \\ 19 & 22 \end{array} |$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $13$ mit $25$ .

$1 (325 - 22 \cdot 16) - 4 | \begin{array}{c} 10 & 16 \\ 19 & 25 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 10 & 13 \\ 19 & 22 \end{array} |$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 22$ mit $16$ .

$1 (325 - 352) - 4 | \begin{array}{c} 10 & 16 \\ 19 & 25 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 10 & 13 \\ 19 & 22 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $352$ von $325$ .

$1 \cdot - 27 - 4 | \begin{array}{c} 10 & 16 \\ 19 & 25 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 10 & 13 \\ 19 & 22 \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} 10 & 16 \\ 19 & 25 \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot - 27 - 4 (10 \cdot 25 - 19 \cdot 16) + 7 | \begin{array}{c} 10 & 13 \\ 19 & 22 \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $25$ .

$1 \cdot - 27 - 4 (250 - 19 \cdot 16) + 7 | \begin{array}{c} 10 & 13 \\ 19 & 22 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 19$ mit $16$ .

$1 \cdot - 27 - 4 (250 - 304) + 7 | \begin{array}{c} 10 & 13 \\ 19 & 22 \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $304$ von $250$ .

$1 \cdot - 27 - 4 \cdot - 54 + 7 | \begin{array}{c} 10 & 13 \\ 19 & 22 \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} 10 & 13 \\ 19 & 22 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot - 27 - 4 \cdot - 54 + 7 (10 \cdot 22 - 19 \cdot 13)$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $22$ .

$1 \cdot - 27 - 4 \cdot - 54 + 7 (220 - 19 \cdot 13)$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 19$ mit $13$ .

$1 \cdot - 27 - 4 \cdot - 54 + 7 (220 - 247)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $247$ von $220$ .

$1 \cdot - 27 - 4 \cdot - 54 + 7 \cdot - 27$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $- 27$ mit $1$ .

$- 27 - 4 \cdot - 54 + 7 \cdot - 27$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 54$ .

$- 27 + 216 + 7 \cdot - 27$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 27$ .

$- 27 + 216 - 189$

Schritt 5.2

Addiere $- 27$ und $216$ .

$189 - 189$

Schritt 5.3

Subtrahiere $189$ von $189$ .

$0$